www. math-on-line. com
Онлайн учебный центр, Математика олимпиады, игры конкурсы для школьников, 5-8 классы,учебные пособия, каталог, математика,геометрия, логика, комбинаторика, арифметика,алгера,олимпиада Кенгуру

Занимательная математика - школьникам

 главная // конкурсы по математике // результаты детского конкурса по математике № 6. Разбор полетов  

Логические задачи. Результаты конкурса.

Онлайн центр по проведению олимпиады "Сократ", игр и конкурсов по математике для школьников


Метод решения хорош, если мы с самого начала можем предвидеть - и далее подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели.
Лейбниц. "Opuscules"
Поздравляем всех участников конкурса № 6 по решению логических задач!

Разбор полетов

Дорогие ребята ! Пришло время подведения итогов.

Конкурс был необычный. Вам не пришлось посылать свою работу по почте - все ответы оправлялись в форму обратной связи.

Это проще и быстрее, больше времени - "на подумать".

Немного статистики. Записались на конкурс 481 человек. А реально участвовало в конкурсе - 166 человек, или одна третья часть.

Это совершенно нормально. Так устроен мир. Свои планы реализуют и в жизни только 20% процентов людей или одна пятая часть. У наших конкурсантов этот процент выше, что говорит о их высокой мотивации.

География конкурса попрежнему обширная, достаточно посмотреть списки участников.

Ну, а теперь - самое интересное: поговорим о ваших работах!

Самым ответственным моментом в задаче:

оказалось правильно выбрать стратегию поиска самого большого числа.

Самой успешной стала у ребят следующая стратегия. Первый шаг - определение длины искомого числа.

Наиболее трудолюбивые конкурсанты не поленились выписать весь ряд чисел, посчитать, сколько цифр в нем и вычесть 100.

Но нашлись и другие, которые предпочли, вместо большой рутинной работы - выписывания всего ряда, сначала просто подумать.

Например такие, как шестиклассник Колточихин Виталий из г. Искитим.
Виталий написал: "Посчитаем количество цифр. Однозначных чисел 9, двузначных 60-9=51. Всего 51*2+9=111 цифр. Если стереть 100, то останется 11".

Семиклассник Мартыненко Николай (г. Саратов):"Сначала определим, сколько цифр будет содержать данное число.
В имеющейся записи 1*9+2*51=111 цифр (9 однозначных и 51 двузначное число). Значит, число будет содержать 111-100=11 цифр.

На втором шаге перед конкурсантами встал вопрос выбора критерия, какие цифры стирать, а какие оставлять.
Семиклассник Рустам Канафеев из г. Кротовка твердо придерживался принципа:
"Чтобы число было наибольшим, в высших разрядах должны стоять девятки".

Четырехклассница Молдавская Ариела из г. Беэр-Шева пишет:"Самое большое было бы, если бы все цифры были девятки. Но у нас девяток не 11, а 6- по одной в каждом десятке. Чтоб получить самое большое число, надо эти девятки поставить в как можно более старшие разряды, то есть, ближе к началу числа".

Ту же мысль выразил пятиклассник Слава Якупов из Магнитогорска так:
"Чтобы составить самое большое число необходимо, чтобы в старших разрядах стояли наибольшие из возможных цифр, т.е. 9 ".

Такой же правильной стратегии придерживались многие ребята: четвероклассник Алейкин Сергей из Москвы, семиклассник Бахман Игорь из Мончегорска, восьмиклассник Долаев Ерболат из Алма-Аты и многие другие.

Всех их ждал успех в этой задаче, так как с самого начала они выбрали правильную стратегию поиска максимального числа.

Следующий стратегический шаг - определить, сколько девяток может содержать искомое число!
Канафеев Рустам пишет: "Всего девяток шесть, если их все оставить, то после последней девятки остается 6 и 0,то есть число не будет состоять из 11 цифр. Поэтому оставим только пять девяток".

Таким образом, нашим конкурсантам удалось весь ряд чисел, состоящий из 111 цифр, разбить на два ряда: 12...49 (самое большое число для него: 99999) и второй ряд : 505...5960.

Применив ко второму ряду те же принципы, что и к первому (и постоянно проверяя длину числа) шестиклассник Чернавин Роман из г. Искитим (а также многие другие конкурсанты) нашли шесть цифр, наиболее возможных: 785960. Ответ задачи: 99999785960.

Быстрый путь к ответу в этой задаче проложил также девятиклассник Мысин Юрий из г. Ступина.

Он придерживался другой стратегии: просто вычеркивал "ненужные" в данном разряде цифры и вел строжайший учет количества вычеркнутых цифр.

Вот его решение: "1234567891011121314151617181920212223242526272829303132
33343536373839404142434445464748495051525354555657585960

Первым делом вычеркиваем первые 8 цифр, чтобы получить вначале 9.
Далее вычеркиваем числа между первыми пятью девятками.

Получаем число 999995051525354555657585960.

Далее вычеркиваем 15 цифр до 7: 505152535455565.

Далее вычеркиваем первую пятерку, идущую после 7. Вычеркнули 100 цифр: 8+4*19+15+1=100. Получилось число 99999785960".

Этот метод тоже хорош, но он требует большой внимательности и сосредоточенности.

Задача уже размещена в каталоге занимательных задач

По второй задаче конкурса было прислано много правильных ответов: 5 ломтиков хлеба можно съесть бесплатно. Однако,

к сожалению, далеко не всем удалось объяснить свой ответ.

Самая распространенная ошибка: конкурсанты от 13 ломтиков отнимали 3 доллара, полученную величину делили на 2 и результат объявляли количеством бесплатных ломтиков.

Такое совпадение объясняется тем, что 1 ломтик хлеба реально стоит 1 доллар, но это надо было доказать.

Вот как, например, это сделала шестиклассница Амирова Гузель из г. Стерлитамак:
" Один человек за 13 ломтиков хлеба заплатил 8$. Если бы он был с другом, за это же количество он заплатил бы на 8-3=5$ меньше.

Т.е. один человек может съесть бесплатно хлеба на 5$.

Если к этим 5$ прибавить 8$, которые заплатил одинокий посетитель, получим 13$ - стоят 13 кусочков хлеба.
Тогда 1 кусочек хлеба стоит 13/13=1$.

Так как один человек может съесть бесплатно хлеба на 5$, то 5/1=5 ломтиков хлеба может съесть бесплатно один посетитель".

Семиклассник Мартыненко Николай 7 (г. Саратов) также прислал красивое решение:
"Человеку разрешается бесплатно съесть хлеба на 5$ (8-3=5).

Значит, два человека бесплатно съели хлеба на 2*5=10 $ и заплатили еще 3$.

Значит, всего они съели хлеба на 13$. Мы знаем, что это составило 13 ломтиков.

Значит, каждый ломтик стоит 1$.

Получается, что каждый посетитель бесплатно может съесть 5$/1$= 5 ломтиков."

Оригинальное решение предложила шестиклассница Васильева Ольга из Волгограда:
" Чтобы решить задачу, я узнала разницу между 8 д., которые заплатил один человек, и 3 д. которые заплатило два человека.
У меня получилось 5 д.
Так как число 5 делится только само на себя, я могу предположить что один ломтик стоит 1 д.

Значит что каждый человек сможет съесть бесплатно 5 ломтиков."

А вот второклассница Вероника Нечаева из г. Киева сначала высказала предположение, что 1 кусочек хлеба стоит 1 доллар, а потом доказала его:
"Я решала методом подбора. Предположим, что после бесплатных ломтиков хлеба 1 ломтик хлеба стоит 1 доллар.

Тогда они заплатили за 3 ломтика хлеба.

Бесплатно съедено 10 ломтиков хлеба, значит 1 человек съест бесплатно 5 ломтиков хлеба.

Тогда один человек заплатит за 13 ломтиков 13-5=8 долларов. Сошлось! "
Это тоже правомочный подход.

Но самое интересное, заслуживающее восхищения, решение прислал пятиклассник Расулов Магомед из г. Махачкала.

Если раньше кто-то из вас недооценивал красоту арифметического (то есть основанного на рассуждениях) метода, то теперь он, наверняка изменит свое мнение.

Читайте решение Магомеда:

"Мы с другом договорились ходить каждый день в ресторан, где дают немного бесплатного хлеба.

В первый день мы съели 13 кусков хлеба и заплатили 3$.

На следующий день я пришел первым в ресторан и заказал 13 кусков хлеба, но друг не пришел, и мне пришлось заплатить не 3$, а 8$.

Значит, подумалось мне, то, что мог съесть мой друг бесплатно, хлеба стоит 8$-3$=5$.

На следующий день повторилось то же самое. Я пришел первым, заказал хлеб, друга нет и еще официант сказал мне, что бесплатный хлеб отменили (из-за кризиса, наверно).

Значит, мне придется заплатить уже не 8$ ,как вчера, а плюс еще 5$ за свою "бесплатную" когда-то порцию хлеба.

Итого 8$+5$=13$ за 13 ломтиков хлеба, или 1$ за 1 ломтик.

Сколько ломтиков хлеба было в "бесплатной" порции узнаем, если разделим стоимость этой порции 5$ на стоимость одного ломтика 1$ = 5 ломтиков хлеба."

Вот такой интересный рассказик из трех частей по мотивам задачи №2 придумал Магомед.

Задача уже размещена в каталоге занимательных задач

Третьей задаче :

очень повезло. Она оказалась самой решаемой из всего конкурса. Конкурсанты уверенно прошли ее из конца в начало и получили правильный ответ.

Восьмиклассница Светлана Князева (г.Дзержинск) прислала такое решение:

"Т.к. внуку достается 1/2 часть от оставшейся суммы, значит эта часть, также как и сумма на благотворительность, составляет 60 000$.

Сыну достается в 2 раза больше, чем остаток, соответственно это – 120 000$.

Жене достается половина. А это значит, что её доля равна сумме долей остальных наследников:

400000+120000+60000+60000=640 000$.

Теперь, когда известны суммы каждого, то сложением мы получаем общую сумму состояния человека:

640000+400000+120000+60000+60000=1280000

Значит, все состояние равно 1 280 000$"

Как и ранее, красивое решение прислал Расулов Магомед:

"проще начать решение этой задачи с конца. То, что осталось 60000$ на благотворительные цели-это одна половина, а вторая (тоже 60000$)досталась внуку.

То, что достанется сыну, будет равно тому, что досталось внуку и на благотворительные цели 60000$+60000$=120000$.

С дочкой все ясно, а вот жене достанется столько же, сколько дочке, сыну, внуку и на благотворительные цели вместе взятые:

400000$+120000$+60000$+60000$=640000$
и это будет половина состояния человека.

Значит его состояние равно:

400000$+120000$+60000$+60000$+640000$=1280000$"

Но нашлись и такие, которые решили ее двумя вариантами: от конца к началу и от начала - концу.

Шестиклассница Амирова Гузель из г. Стерлитамак прислала такие решения:

"1 способ:
Из условия мы видим, что внуку осталось столько же, сколько на благотворительные цели, то есть 60000 долларов.

Тогда 60000+60000=120000 долларов досталось сыну, а 120000+60000+60000=240000 долларов - часть наследства без долей дочери и жены.

240000+400000=640000 долларов - часть наследства без доли жены.

640000*2=1280000 долларов - все состояние человека.

2 способ:
Возьмем все наследство за 1, тогда жена получила 1/2 наследства и, после нее осталось тоже 1/2 наследства.

После дочери осталось 1/2 наследства без 400000 долларов, тогда сыну досталось половина этой суммы, т.е. 1/4 наследства без 200000 долларов.

Столько же осталось для остальных наследников.

Внуку досталось половина от 1/4 наследства без 200000 долларов, т.е. 1/8 наследства без 100000 долларов, и столько же ушло на благотворительные цели, то есть 1/8 наследства без 100000 долларов составляет 60000 долларов.

Тогда 1/8 наследства равна 60000+100000=160000 долларов, а все наследство 160000*8=1280000 долларов

Задача уже размещена в каталоге занимательных задач

Интересное решение по задаче 4:

прислал пятиклассник Кирилл Сапронов из г. Пятигорск.

Кирилл последовательно выдвигал три гипотезы, и каждый раз проверял, сколько будет ложных утверждений:

  1. Самый младший - А. В этом случае два ложных высказывания: первое и третье. Противоречит условию, так как по условию ложных высказываний - 1.
  2. Самый младший - С. Тогда ложных высказываний тоже два: третье и четвертое. Противоречит условию.
  3. Самый младший - В. В этом случае только одно ложное высказывание - второе, что полностью отвечает условию задачи.

Очень красивое решение по задаче прислал Расулов Магомед. Магомед сравнил между собой три утверждения : 1, 2 и 4.
И нашел, что они противоречат друг другу.

Следовательно, среди них есть обязательно неверное утверждение.

Отсюда Магомед сразу сделал вывод, который очень продвинул его в направлении получения ответа.

Вывод: утверждение 3 - истинное.
"Тогда утверждение, что сумма возрастов В и С равна удвоенному возрасту А верно.

Из этого следует, что А-средний мальчик, т.е. он старше одного и младше другого."

Далее, из трех оставшихся утверждений : 1,2 и 4 Магомед выбрал такие, которые подходят к правдивому утверждению 3:

  • первое утверждение: А старше, чем В, и
  • четвертое утверждение: С старше, чем А.

    А вот утверждение 2: "С моложе, чем В" не подходит к найденным трем правдивым утверждениям.
    Следовательно, оно - ложное и оно - единственное, что полностью соответствует условию задачи.

    Получается В - самый младший из певцов.

    Красивое, хорошо обоснованное решение прислал также Мысин Юрий :

    "Для того, чтобы найти самого младшего, будем предполагать, что одно из утверждений ложно.

    1. Пусть первое утвержение ложно и тогда А моложе чем Б. Тогда А < С < Б. Но тогда не может выполниться условие 3. Отсюда условие 1 правдиво.
    2. Пусть второе утверждение - ложное. Пусть С старше Б. Отсюда С >А >Б.
      Отсюда условие 2 – ложно.

      Но необходимо проверить на ложность остальные условия.

    3. Пусть условие 3 ложно. Тогда А > Б, С < Б и С > А, что невозможно. Тогда условие 3 правдиво.
    4. Пусть С > А. Тогда А >Б >С. Но тогда не может выполниться условие 3. Отсюда условие 4 правдиво и условие 2 точно ложно. Тогда самый младший из мальчиков – Б."

    Задача уже размещена в каталоге занимательных задач

    Пятая задача - занимательная задача на время, - не вызвала особых затруднений у конкурсантов:

  • Ребята внимательно вчитались задачу, проанализировали, почему все часы показывали разное время, извлекли из анализа много новой информации, нужной для ответа на вопрос задачи.

    Наметилось два подхода к решению этой задачи.

    Подход 1.
    Конкурсанты (Фофанова Маша, Веретенников Евгений, Сапронов Кирилл, Молева Анна, Колточихин Виталий и многие другие) определяли сначала длительность сбоя электроэнергии, затем - время его окончания, после этого - время начала сбоя.

    Вот, как, например, семиклассник Мартыненко Николай из г. Саратов:

    "Сначала определим, сколько продолжался перерыв. Во время перерыва аналоговые электрические часы останавливаются, но время не сбрасывается.

    Значит перерыв продолжался 8 ч 21 мин – 7 ч 50 мин = 31 мин.

    Далее определим, когда перерыв закончился. С того момента цифровые электрические часы отсчитали 6 ч 03 мин.

    Значит, перерыв закончился в 8 ч 21 мин – 6 ч 03 мин = 2 ч 18 мин.

    Соответственно, перерыв начался в 2 ч 18 мин – 31 мин = 1 ч 47 мин"

    Подход 2. Другие ребята (Гаврилов Олег, Боровиков Олег, Герасимов Дмитрий, Ляшенко Павел, Кабыш Регина и многие другие) решили эту задачу еще короче.

    Они сразу определили время начала сбоя и время его окончания. Вот, например, как семиклассник Канафеев Рустам 7а (Кротовка):

    "Так как цифровые часы начинают отсчет времени с 12:00, то перерыв закончился 6:03 назад, т.е. 8:21 - 6:03 = 2:18.

    Электрические часы начинают отсчет с той точки , когда они остановились, они включились 6:03 назад, тогда перерыв начался 7:50 - 6:03 = 1:47.

    Итак, перерыв начался в 1:47 и закончился в 2:18."

    Задача уже размещена в каталоге занимательных задач

    Занимательная задача на числа:

    не вызвала больших трудностей у наших конкурсантов.

    Красивое решение прислала шестиклассница Амирова Гузель из г. Стерлитамак.

    Вот ее решение: "Если сумма двух пятизначных чисел - пятизначное число, то для того, чтобы оно делилось на 11111, все цифры этого числа должны быть одинаковые.

    Сумма цифр числа abcde: a+b+c+d+e=10, но 10=0+1+2+3+4, т.е. число abcde состоит из цифр 0,1,2,3,4.

    Какие бы цифры из 0,1,2,3,4 мы ни складывали между собой, они не дадут в сумме цифры, большей 10, т.е.при сложении цифр чисел abcde и edcba не будет перехода через разряд, а так как цифры суммы этих чисел одинаковые, то a+e=b+d=c+c=d+b=e+a, т.е. a+e=b+d=2c.

    Знаем, что 4+0=1+3=2*2, тогда с=2, а так как a и e не могут быть 0, то a и e будут равны 1 или 3, b и d будут равны 0 или 4.

    Составим подходящие числа: 14203, 10243, 34201, 30241.

    Найдем среди них числа кратные 7. Это число 14203.

    Действительно, 14203+30241=44444."

    Очень хорошее обоснование выбора суммы двух зеркальных чисел привела в своем решении пятиклассница Доронина Анна из г. Кирова:

    "Если число должно без остатка делиться на 11111, то в делимом все цифры должны быть одинаковыми, чётным и не менее 4.

    Число 22222 не подходит, потому что вариантов получения в ответе числа "2" всего 3 - 0+2, 2+0, 1+1.

    А нам нужно 5 вариантов - "a+e","c+c","d+b","e+a","b+d".

    Число должно быть четным, т.к.при сложении двух одинаковых чисел (с+с)всегда получается четное число.

    Вариант с числом 66666 не подходит, т.к. сумма цифр числа abcde будет больше 10.

    Число 88888 не подходит по той же причине.

    Значит правильный вариант ответа 44444. А потом путем простого подбора начиная (с+с) распеределяем цифры от О до 4 по буквам.

    Значит abcde равно 14203."

    Еще одно красивое обоснование факта, что сумма зеркальных чисел должна быть 4444, привел восьмиклассник Имангулов Амил из г. Самара.

    Амил правильно рассудил, что искомая сумма двух зеркальных чисел:

    • пятизначное число, состоящее из одинаковых цифр,
    • сумма цифр этого числа 10 + 10 = 20,
    • на долю каждой цифры искомого числа приходится 20 : 5 = 4,
    • а само искомое число - 4444.

    Задача уже размещена в каталоге занимательных задач


    Итак, еще один - шестой детский конкурс по математике закончился.

    Он показал, что ребята проявляют большой интерес к интеллектуальным конкурсам и с радостью и энтузиазмом участвуют в них.

    Из обзора работ видно, как много потрудились ребята, сколько много подходов к решению задач применили.

    Конкурсанты на деле доказали, что умеют размышлять, доказывать, логически мыслить.

    Благодарим всех участников за то, что нашли время порешать задачи конкурса, искали и нашли красивые и доказательные рассуждения, за готовность "раскалывать" трудные орешки - логические задачи конкурса.

    Особая благодарность Вашим замечательным учителям, давшим Вам знания, привившим любовь к математике, помогающим Вам жить активной, творческой жизнью.

    Результаты конкурса представлены в пяти списках :

    Победители   Один шаг до победы   На полпути к победе
    Первые успехи  Вставшие на путь

    Обзор конкурсных работ подготовили:

    Руководитель Центра Ульяновский Игорь,

    редактор образовательного сайта
    www.math-on-line.com   Махтингер Эстер

    Смотрите все обзоры предыдущих конкурсов.


    .:: наверх ::.
    "; include("../include/menu_right2.html"); echo "

    "; include("../include/menu_right4.html"); echo "

    "; ?>

    "; include("../include/schet.html"); ?>