| Анализ конкурсных работ
Завершился второй "Конкурс-плюс". Приятно отметить, что число участников
этого конкурса (48) более, чем вдвое, превысило число участников первого конкурса (23).
Остановлюсь на характерных ошибках.
1. К сожалению, многие участники не сочли нужным внимательно изучить условия конкурса, а также анализ результатов первого конкурса. Поэтому в присланных решениях встречаются те же ошибки и недочеты, что и в решениях задач первого конкурса. Прежде всего, необходимо четко усвоить, что конкурс этот призван помочь вам в освоении арифметических методов решения задач. Алгебраические решения к рассмотрению не принимаются. Кроме того, необходимо кратко и четко обосновать выполненное решение. Присланные объяснения зачастую многословны и невразумительны. Предложите соученику послабее разобраться в задаче, руководствуясь вашим объяснением. Результат этой проверки позволит объективно оценить ваш успех.
2. Анализируя результаты первого конкурса, я обратил внимание участников на необходимость проверки правильности выполненного решения, т.е. проверки соответствия полученного ответа условию задачи. Однако требование это осталось невыполненным, свидетельство чему - неверные ответы ко многим задачам.
3. Зачастую в подтверждение высказанного утверждения участники приводят несколько примеров. Следует запомнить, что никакое, сколь угодно большое число примеров не доказывает высказанного утверждения.
4. При работе с дробями рекомендуется после каждой промежуточной операции сокращать полученную дробь (разумеется, если это возможно). Решая задачу №5 (Рыбак и математика), некоторые участники верно определили, что на преодоление участка реки длиной 1 км в обоих направлениях (по течению и против) уйдет 1/20+1/30=50/600 имеющегося запаса топлива. Однако, вместо того, чтобы сократить полученную дробь и далее оперировать более компактной дробью 1/12, участники использовали в последующих вычислениях полученный "негабарит". Кроме того, нарушено еще одно правило работы с дробями. Общий знаменатель дробей есть наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей и он равен произведению знаменателей лишь при условии, если последние являются взаимно простыми числами. В рассматриваемом случае имеем:
1/20 + 1/30 = (3 + 2)/60 = 5/60 = 1/12
(общий знаменатель суммируемых дробей - 60, но не 600).
5. Решение перебором вариантов, часто фигурирующее в работах конкурсантов, не может быть принято по условиям конкурса, поскольку здесь важен логический путь решения, а не сам ответ.
Рассмотрим ошибки, допущенные при решении отдельных задач.
Задача 2: Продолжительность рейса.
Из условия вовсе не следует, что скорости теплохода по течению и против равны соответственно 30 км/ч и 20 км/ч. Известно лишь соотношение скоростей - 3:2. Поэтому нельзя утверждать, что скорость течения равна 5 км/ч, как это определили многие участники. Например, если скорость теплохода по течению равна 27 км/ч, а против течения - 18 км/ч (соотношение скоростей 27:18=3:2 отвечает условию), то скорость течения равна 4,5 км/ч. Верные ответы (при неверном подходе к решению) получены лишь потому, что результат определяется не скоростью течения, а заданным соотношением скоростей.
Характерна и вторая ошибка, допущенная при решении этой задачи. Найдя верное значение средней скорости теплохода на маршруте (20 км/ч), некоторые участники решили, что скорость теплохода, плывущего по течению, равна 25 км/ч, против течения - 15 км/ч (?)
Полусумма скоростей теплохода при движении по течению и против равна не средней скорости теплохода, а его собственной скорости, т.е. скорости в стоячей воде. Средняя скорость всегда меньше собственной, поскольку на движение против течения уходит больше времени, чем при движении по течению (при прохождении одной и той же дистанции). Ошибку можно было бы обнаружить, если бы конкурсанты следовали правилу проверять полученные результаты. При найденных значениях скоростей дорога по течению займет 50:25=2 часа, против течения - 50:15=3 часа 20 минут. Итак, теплоход не успел обернуться за 5 часов! 
Задача 3: задача Костиного дедушки.
Полусумма двух последовательных простых чисел может, вопреки ряду высказываний, оказаться и нечетным числом; например, (13+17):2=15. Неверно и утверждение, якобы остатки от деления на 3 двух последовательных простых чисел соответственно равны 1 и 2. Например, числа 31 и 37 при делении на 3 дают один и тот же остаток (1).
Задача 6: Снова задача на числа.
Наблюдательные участники заметили, что наибольший делитель двух остатков (112 и 98) равен 14. Умножив затем 131 на 14 и добавив остаток 112, они получили искомое число.
Однако такое решение неправомерно. Случайный успех (получен верный результат!) объясняется простым совпадением: НОД чисел 112 и 98 равен их разности. Если бы, к примеру, были заданы остатки 113 и 99, разность которых также равна 14, а НОД=1, то искомое число составило бы 132 · 14 + 99 = 131 · 14 + 113 = 1947.
Другие ошибки, допущенные при решении задач, не представляют теоретического интереса. Участниками смогут проверить свои решения, познакомившись с рекомендуемыми методами решения, представленными на сайте.
Рекомендую разобрать с преподавателями выполненные вами работы.
Успехов и до новых встреч. Виктор Ильич Романовский.
| 
